Question

（2006•廣州模擬）已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=BC=1，AA₁=2，點E為CC₁的中點，點F為BD₁的中點．
（Ⅰ）證明：EF⊥BD₁；
（Ⅱ）求四面體D₁-BDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先計算EB=

EC2+BC2

=

12+12

=

2

，ED1=

EC12+C1D12

=

12+12

=

2

，再利用F為BD₁中點，可得EF⊥BD₁；
（Ⅱ）轉換底面，根據VD1-DBE=VB-EDD1，只要求出VB-EDD1=

1

3

S△EDD1•BC，即可得到四面體D₁-BDE的體積．

解答：（Ⅰ）證明：∵AB=BC=1，AA₁=2，點E為CC₁中點，
∴EB=

EC2+BC2

=

12+12

=

2

，ED1=

EC12+C1D12

=

12+12

=

2

． …（2分）
∴EB=ED₁．又F為BD₁中點，
∴EF⊥BD₁．                   …（4分）
（Ⅱ）解：由于VD1-DBE=VB-EDD1，…（6分）
又因為VB-EDD1=

1

3

S△EDD1•BC，而S△EDD1=1，BC=1，
∴VB-EDD1=

1

3

S△EDD1•BC=

1

3

．
故四面體D₁-BDE的體積為

1

3

．                      …（10分）

點評：本題以正四棱柱為載體，考查線線垂直，考查三棱錐的體積，解題的關鍵是利用轉換底面的方法求三棱錐的體積．