Question

甲乙兩公司生產同一種新產品，經測算，對于函數，，及任意的，當甲公司投入萬元作宣傳時，乙公司投入的宣傳費若小于萬元，則乙公司有失敗的危險，否則無失敗的危險；當乙公司投入萬元作宣傳時，甲公司投入的宣傳費若小于萬元，則甲公司有失敗的危險，否則無失敗的危險. 設甲公司投入宣傳費x萬元，乙公司投入宣傳費y萬元，建立如圖直角坐標系，試回答以下問題：
(1)請解釋；
(2)甲、乙兩公司在均無失敗危險的情況下盡可能少地投入宣傳費用，問此時各應投入多少宣傳費？
(3)若甲、乙分別在上述策略下，為確保無失敗的危險，根據對方所投入的宣傳費，按最少投入費用原則，投入自己的宣傳費：若甲先投入萬元，乙在上述策略下，投入最少費用；而甲根據乙的情況，調整宣傳費為；同樣，乙再根據甲的情況，調整宣傳費為如此得當甲調整宣傳費為時，乙調整宣傳費為；試問是否存在，的值，若存在寫出此極限值（不必證明），若不存在，說明理由.

Answer 1

⑴=8， =12，⑵甲公司至少投入17萬元,乙公司至少投入25萬元.⑶點M (17, 25) 是雙方在宣傳投入上保證自己不失敗的一個平衡點.

(1)表示當甲公司不投入宣傳費時,乙公司要回避失敗風險,至少要投入=8萬元;         …………………… (2分)
表示當乙公司不投入宣傳費時, 甲公司要回避失敗風險,至少要投入  =12萬元.             …………………………… (4分)
(2) 解方程組
    ………………(6分)
得:  x =" 17," y =" 25 " ……………(9分)  
故甲公司至少投入17萬元,乙公司至少投入25萬元. …… (11分)
(3) 經觀察, 顯見 .
故點M (17, 25) 是雙方在宣傳投入上保證自己不失敗的一個平衡點. ………(16分)