Question

（本小題滿分14分）

如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，，AA1＝4，點D是AB的中點．

（1）求證：AC⊥BC1；

（2）求的體積；

（3）求二面角的平面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC=3，

BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                     …………2分

又 AC⊥C1 C，

∴ AC⊥平面BCC1；         

  ∴ AC⊥BC1        …………4分

（2）…………8分

（3）解法一：取中點，過作于，連接。

是中點，

∴

∴平面，又

∴

∴  ,又

∴平面   

∴

∴是二面角的平面角…………10分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴，    ∴ ，  

     ∴二面角的余弦值為 …………14分

解法二：以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴，，，

∴， 

平面的法向量，  

 設平面的法向量，

則，的夾角的補角的大小就是二面角的大小

則由解得 …12分

，………13分

∴二面角的余弦值為          …………14分

 

【解析】略