Question

（2013•牡丹江一模）《選修4-5：不等式選講》
設不等式|x-2|＞1的解集與關于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數f(x)=a

x-3

+b

5-x

的最大值，以及取得最大值時x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，通過解絕對值不等式|x-2|＞1可求其解集，從而可知x²-ax+b=0的解，由韋達定理可求得a，b的值；
（Ⅱ）通過導數法可求得f（x）=4

x-3

+3

5-x

的最大值，以及取得最大值時x的值．

解答：解：（Ⅰ）∵|x-2|＞1，
∴x＞3或x＜1．
∴不等式|x-2|＞1的解集為{x|x＞3或x＜1}；
∵不等式|x-2|＞1的解集與關于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相同，
∴1和3是方程x²-ax+b=0的根，
∴a=1+3=4，b=1×3=3．
（Ⅱ）∵f（x）=4

x-3

+3

5-x

（3≤x≤5），
∴f′（x）=

4× 1 2

x-3

-

3 2

5-x

=

2 5-x - 3 2 x-3

x-3 • 5-x

，
由f′（x）=0得x=

107

25

．
由f′（x）＞0得，3≤x＜

107

25

，
由f′（x）＜0得，

107

25

＜x≤5．
∴f（x）在[3，

107

25

）上單調遞增，在（

107

25

，5]上單調遞減，
∴當x=

107

25

時，f（x）取得最大值，
即f（x）_max=f（

107

25

）=4

107 25 -3

+3

5- 107 25

=5

2

．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，利用導數法求函數的最值是難點，也是關鍵，考查分析、運算的能力，屬于難題．