Question

已知直線l：mx-y+1-m=0與圓C：x²+（y-1）²=5交于A、B兩點(diǎn)；
（Ⅰ）若，求直線l的傾斜角；
（Ⅱ）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）圓C上是否存在一點(diǎn)P使得△ABP為等邊三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）圓心C（0，1）到直線的距離，
所以，解得，
所以，傾角；…（4分）
（Ⅱ）直線l過(guò)定點(diǎn)N（1，1），設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），則，
所以（x，y-1）•（x-1，y-1）=0，化簡(jiǎn)得；…（9分）
（Ⅲ）不存在．假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)，則由△ABP是等邊三角形知，
其外接圓與內(nèi)切圓的圓心均C（0，1），外接圓半徑，
內(nèi)切圓半徑r等于圓心（0，1）到直線AB的距離，
又由等邊三角形的性質(zhì)得，所以有，，m無(wú)解，故不存在這樣的點(diǎn)P．…（13分）
分析：（Ⅰ）直接利用，圓心到直線的距離，半徑滿足勾股定理，求出m的值，即可求直線l的傾斜角；
（Ⅱ）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系，數(shù)量積為0，直接求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）通過(guò)由△ABP是等邊三角形，其外接圓與內(nèi)切圓的圓心相同，通過(guò)外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑r等于圓心到直線AB的距離，推出，方程無(wú)解，則不存在否則存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程分求法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線的傾斜角的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．