Question

（2013•天河區三模）設m∈R，在平面直角坐標系中，已知向量

a

=(x+

3

，my)，向量

b

=(x-

3

，y)，

a

⊥

b

，動點M（x，y）的軌跡為曲線E．
（I）求曲線E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；
（II） 已知m=

3

4

，F（0，-1），直線l：y=kx+1與曲線E交于不同的兩點M、N，則△FMN的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的實數k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由向量數量積的坐標表示得到動點M（x，y）的軌跡，然后對m的取值分類討論，得到曲線E的不同形狀；
（Ⅱ）把m=

3

4

代入曲線E的方程，求出具體的橢圓方程，由直線系方程知直線l過橢圓的上焦點，則△FMN的周長為定值，設△FMN的內切圓半徑為r，把三角形的面積用r表示，可知當△FMN的面積最大時其內切圓半徑最大，聯立直線方程和橢圓方程，把△FMN的面積用含有k的代數式表示，換元后利用導數求△FMN的最大值，進一步求出r的最大值，則△FMN的內切圓的面積的最大值可求．

解答：解：（Ⅰ）

a

=(x+

3

，my)，向量

b

=(x-

3

，y)，
因為

a

•

b

，所以

a

•

b

=x2+my2-3=0，即x²+my²=3．
當m=0時，方程表示兩直線，方程為x=±

3

；
當m=1時，方程表示的是以原點為圓心，以

3

為半徑的圓；
當0＜m＜1時，方程表示焦點在y軸上的橢圓，當m＞1時，方程表示焦點在x軸上的橢圓；
當m＜0時，方程表示焦點在x軸上的雙曲線．
（Ⅱ）當m=

3

4

時，曲線E的方程為橢圓

y2

4

+

x2

3

=1，F（0，-1）為橢圓的下焦點，
直線l：y=kx+1過橢圓的上焦點F'（0，1），則△FMN的周長等于4a=8，
設△FMN的內切圓的徑r，
則S△FMN=

1

2

(MN+FM+FN)r=4r，因此，若S_△FMN最大，r就最大，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨x₁＞0，x₂＜0，SAMN=

1

2

|FF′|(x1-x2)=x1-x2，
由

y=kx+1 y2 4 + x2 3 =1

，得（3k²+4）x²+6kx-9=0
得x1=

-3k+6 k2+1

3k2+4

，x2=

-3k-6 k2+1

3k2+4

，
則S△FMN=

1

2

|FF′|•(x1-x2)=x1-x2=

12 k2+1

3k2+4

，
令t=

k2+1

，則t≥1，
則S△FMN=

12 k2+1

3k2+4

=

12t

3t2+1

=

12

3t+ 1 t

，
令f（t）=3t+

1

t

，則f′（t）=3-

1

t2

，
當t≥1時，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調遞增，
有f（t）≥f（1）=4，所以S_△FMN≤

12

4

=3，
即當t=1，k=0時，S_△FMN≤

12

4

=3，
由S_△FMN=4r=3，∴r_max=

3

4

，
這時所求內切圓面積的最大值為πr2=π×(

3

4

)2=

9

16

π．
故k=0，△AMN內切圓面積的最大值為

9

16

π．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量數量積的坐標運算，考查了直線與圓錐曲線的關系，運用了分類討論的數學思想方法和數學轉化思想方法，考查了換元法和利用導數求函數的最值，是有一定難度題目．