Question

某高校從參加今年自主招生考試的學生中抽取成績排名在前80名的學生成績進行統計，得頻率分布表：

組號	分組	頻數	頻率
1	[200，210）	8	0.1
2	[210，220）	9	0.1125
3	[220，230）	①
4	[230，240）	10	②
5	[240，250）	15	0.11875
6	[250，260）	12	0.15
7	[260，270）	8	0.10
8	[270，280）	4	0.05

（I）分別寫出表中①、②處的數據；
（II）高校決定在第6、7、8組中用分層抽樣的方法選8名學生進行心理測試，并最終確定兩名學生給予獎勵．規則如下：假定每位學生通過心理測試獲得獎勵的可能性相同．若該名獲獎學生來自第6組，則給予獎勵1千元；若該名獲獎學生來自第7組，則給予獎勵2千元；若該名獲獎學生來自第8組，則給予獎勵3千元；記此次心理測試高校將要支付的獎金總額為X（千元），求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）利用頻數之和為80，可得位置①處的數據，利用頻數除以總數，可得位置②處的數據；
（II）由題意可知，第6，7，8組共有32人，抽8人，確定6，7，8組抽取的人數，可得概率，從而可求X的分布列和數學期望．

解答：解：（I）利用頻數之和為80，可得位置①處的數據為14，位置②處的數據為

10

80

=0.125
（II）由題意可知，第6，7，8組共有32人，抽8人，于是在第6組抽16×

8

32

=4人；在第7組抽12×

8

32

=3人；在第8組抽4×

8

32

=1人，故X=2，3，4，5
P（X=2）=

C 2 4

C 2 8

=

3

14

；P（X=3）=

C 1 4 C 1 3

C 2 8

=

3

7

；P（X=4）=

C 1 4 + C 2 3

C 2 8

=

1

4

；P（X=5）=

C 1 3

C 2 8

=

3

28

∴X的分布列為

X	2	3	4	5
P	3 14	3 7	1 4	3 28

EX=2×

3

14

+3×

3

7

+4×

1

4

+5×

3

28

=3.25（千元）．

點評：本題考查分層抽樣，考查分布列與數學期望，考查概率的計算，正確計算概率是關鍵．