Question

實系數方程f（x）=x²+ax+2b=0的一個根在（0，1）內，另一個根在（1，2）內，求：
（1）

b-2

a-1

的值域；
（2）（a-1）²+（b-2）²的值域；
（3）a+b-3的值域．

Answer 1

分析：先利用所給的條件得到實系數方程f（x）=x²+ax+2b=0的一個根在（0，1）內，另一個根在（1，2）內得到關于（a，b）的約束條件
（1）表達式

b-2

a-1

表示過（a，b）和（1，2）的直線的斜率；
（2）表達式（a-1）²+（b-2）²表示（a，b）和（1，2）距離的平方；
（3）表達式z=a+b-3代表是求目標函數的最值，可以轉化求函數b=-a+（z+3）截距的最值．

解答：解：由題意知

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，則其約束條件為：

b＞0 1+a+2b＜0 2+a+b＞0

∴其可行域是由A（-3，1）、B（-2，0）、C（-1，0）構成的三角形．
∴（a，b）活動區域是三角形ABC中，
（1）令k=

b-2

a-1

，則表達式

b-2

a-1

表示過（a，b）和（1，2）的直線的斜率，
∴斜率kmax=

2-0

1+1

=1，kmin=

2-1

1+3

=

1

4

故答案為：（

1

4

，1）

（2）令p=（a-1）²+（b-2）²
則表達式（a-1）²+（b-2）²表示（a，b）和（1，2）距離的平方，
∴距離的平方p_max=（-3-1）²+（1-2）²=17，p_min=（-1-1）²+（0-2）²=8
∴答案為：（8，17）．

（3）令z=a+b+3，即要求目標函數z的最值，則只需求函數b=-a+（z+3）截距的最值，
在直角坐標系中，把b=-a圖象上或下推動|z+3|個單位即可得到b=-a+（z+3）的圖象，
∴z_max=-1+0-3=-4，z_min=-3+1-3=-5
故答案為：（-5，-4）

點評：如果從單純的代數角度解決本題，難度很大，基本上是無從下手．若能根據表達式的形式或代表的意義聯想到其對應的幾何圖形，則解決問題就可以取得事半功倍的效果．
斜率的表達形式：k=

d-b

c-a

，
兩點間距離的表達形式：|AB|=

(d-b)2+(c-a)2