Question

設函數y=f（x）滿足：對任意x∈R都有f（x）＞0，且f（x+y）=f（x）•f（y）（x，y∈R）
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）•f（-x）的值；
（3）判斷函數g（x）=

1+f(x)

1-f(x)

是否具有奇偶性，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0可得f（0）；（2）令y=0可得；（3）由奇偶性定義證明．

解答：解：（1）令x=y=0得f（0）=1；
（2）令y=0得：f（x）f（-x）=1；
（3）由函數g（x）=

1+f(x)

1-f(x)

得：
g（-x）=

1+f(-x)

1-f(-x)

由（2）知f（x）f（-x）=1，
∴g（-x）=-g（x）
∴g（x）是奇函數．

點評：本題主要考查抽象函數中賦值法求值、研究奇偶性等問題，要注意變形處理和函數單調性奇偶性定義的應用