Question

（2009•大連二模）已知映射：f：A→B，其中→A=R⁺，B=R，對(duì)應(yīng)法則為：f：x→y=lnx+

1

x

，對(duì)于實(shí)數(shù)t∈B，在集合A中不存在原象，則t的取值范圍是（　　）

A．t＞0

B．t＜1

C．t＜0

D．t≥1

Answer 1

分析：實(shí)數(shù)t∈B，在集合A中不存在原象，表示t應(yīng)該在A中所有元素在B中對(duì)應(yīng)象組成的集合的補(bǔ)集中，故我們可以根據(jù)已知條件中的A=（0，+∞），B=R，映射f：A→B，對(duì)應(yīng)法則為f：x?y=lnx+

1

x

，求出A中所有元素在B中對(duì)應(yīng)的象組成的集合，再求其補(bǔ)集即可得到答案．

解答：解：函數(shù)f（x）=lnx+

1

x

，∴f′（x）=

1

x

-

1

x2

（x＞0）
令f′（x）=

1

x

-

1

x2

=0
解得x=1，
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
故在區(qū)間（0，1）上，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值1，
∴當(dāng)x∈A時(shí)，在映射f：A→B的作用下
對(duì)應(yīng)象的滿足：y≥1．
故若實(shí)數(shù)t∈B，在集合A中不存在原象
則t應(yīng)滿足，t＜1
即滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是t＜1．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：在集合A到B的映射中，若存在實(shí)數(shù)t∈B，在集合A中不存在原象，表示t應(yīng)該在A中所有元素在B中對(duì)應(yīng)象組成的集合的補(bǔ)集中．