Question

【題目】已知函數，（ ）.

（Ⅰ）若有最值，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，若存在、（），使得曲線在與處的切線互相平行，求證： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）證明過程見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，通分整理后得到，然后根據二次三項式對應方程根的情況分析導函數的符號，從而得到導函數的單調性，利用原函數的單調性求得使有最值的實數的取值范圍；（Ⅱ）由曲線在與處的導函數相等得到，由已知得到，結合不等式可證得答案.

試題解析：（Ⅰ）∵，（ ），

∴， ．

由對應的方程的知，

①當時， ， 在上遞增，無最值；

②當時， 的兩根均非正，

因此， 在上遞增，無最值；

③當時， 有一正根，

當時， ， 在上遞減，

當時， ， 在上遞增．

此時有最小值．

∴實數的范圍為；

（Ⅱ）證明：依題意： ，

整理得： ，

由于， ，且，則有

，

∴

∴，

則．