Question

已知定義在R上的奇函數f(x)有最小正周期2，且當x∈(0,1)時，f(x)=.

（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；（2）證明：f(x)在（0，1）上是減函數.

Answer 1

(Ⅰ) f（x）=   (Ⅱ)  見解析

解析:

（1）解： 當x∈(-1,0)時，-x∈(0,1).∵f（x）是奇函數，∴f（x）=-f（-x）=-由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),

得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在區間［-1，1］上，有f（x）=

(2)證明  當x∈(0,1)時，f(x)=設0＜x₁＜x₂＜1,則f(x₁)-f(x₂)=

∵0＜x₁＜x₂＜1,∴＞0，2-1＞0,∴f(x₁)-f(x₂)＞0,即f(x₁)＞f(x₂),

故f(x)在（0，1）上單調遞減.