Question

（滿分12分）

 對于函數f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點.

 

已知函數f（x）=ax²+（b+1）x+b－1（a≠0）.

（1）當a=1，b=－2時，求f（x）的不動點；

（2）若對于任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）x=3或x=－1.（2）0<a<1

【解析】解：（1）當a=1，b=－2時，f（x）=x²－x－3=xx²－2x－3=0

（x－3）（x+1）=0x=3或x=－1，

∴f（x）的不動點為x=3或x=－1.

（2）對于任意實數b，f（x）恒有兩個相異不動點

      對任意實數b，ax²+（b+1）x+b－1=x恒有兩個不等實根

即ax²+bx+b－1=0恒有兩個不等實根

      對任意實數b，Δ=b²－4a（b－1）>0恒成立

      對任意實數b，b²－4ab+4a>0恒成立

      Δ′=16a²－16a<0

      a（a－1）<00<a<1.