Question

A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子（x、y、z≥0，且x+y+z=6），B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球比顏色，規定同色時為A勝，異色時為B勝．
（1）用x、y、z表示B勝的概率；（2）當A如何調整箱子中球時，才能使自己獲勝的概率最大？
（3）若規定A取紅球，白球，黃球而獲勝的得分分別為1，2，3分，否則得0分，求A得分的期望的最大值及此時x，y，z的值．

Answer 1

解：（1）顯然A勝與B勝為對立事件，
A勝分為三個基本事件：
①A₁：“A、B均取紅球”；
②A₂：“A、B均取白球”；
③A₃：“A、B均取黃球”．
∵
∴，
∴
（2）由（1）知，
又x+y+z=6，x≥0，y≥0，z≥0，
于是，
∴當x=6，y=z=0，
即A在箱中只放6個紅球時，獲勝概率最大，其值為．
（3）設A的得分為隨機變量ξ，
則；
；
；
，
∴，
∵x+y+z=6（x，y，z∈N），
∴y=6時，
Eξ取得最大值為，
此時x=z=0．
分析：（1）A勝與B勝為對立事件，A勝分為三個基本事件：①A₁：“A、B均取紅球”；②A₂：“A、B均取白球”；③A₃：“A、B均取黃球”．由此能求出用x、y、z表示B勝的概率．
（2）由（1）知，又x+y+z=6，x≥0，y≥0，z≥0，于是，由此能求出A在箱中只放6個紅球時，獲勝概率最大，其值為．
（3）設A的得分為隨機變量ξ，則；；；，由此能求出A得分的期望的最大值及此時x，y，z的值．
點評：本題考查概率在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．解題時要注意概率性質和古典概型的特征的靈活運用．