Question

已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值為－，求正實數λ的值．

Answer 1

（1）|a＋b|＝2cosx（2）λ＝

(1)a·b＝cosx·cos－sinx·sin＝cos 2x.
∵a＋b＝，
∴|a＋b|²＝²＋²
＝2＋2＝2＋2cos 2x＝4cos²x.
∵x∈，∴cos x≥0.因此|a＋b|＝2cos x.
(2)由(1)知f(x)＝cos 2x－4λcos x＝2cos²x－4λcos x－1，
∴f(x)＝2(cos x－λ)²－1－2λ²，cos x∈[0,1]．
①當0＜λ≤1時，當cos x＝λ時，
f(x)有最小值－1－2λ²＝－，解得λ＝.
②當λ＞1時，當cos x＝1時，f(x)有最小值1－4λ＝－，
λ＝ (舍去)，綜上可得λ＝