【題目】如圖所示，在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？
【答案】見解析
【解析】
設箱子的底邊長為x cm，則箱子高h＝
cm.故其體積V(x)＝
(0<x<60)．V′(x)＝60x－
x2＝0，據此結合函數的單調性確定箱子容積的最大值即可.
設箱子的底邊長為x cm，則箱子高h＝cm.
箱子容積V＝V(x)＝x2h＝ (0<x<60)．
求V(x)的導數，得V′(x)＝60x－x2＝0，
解得x1＝0(不合題意，舍去)，x2＝40.
當x在(0,60)內變化時，導數V′(x)的正負如下表：
x | (0,40) | 40 | (40,60) |
V′(x) | ＋ | 0 | － |
因此在x＝40處，函數V(x)取得極大值，并且這個極大值就是函數V(x)的最大值．
將x＝40代入V(x)得最大容積V＝402×
＝16 000(cm3)．
所以箱子底邊長取40 cm時，容積最大，最大容積為16 000 cm3.
名校通行證有效作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓M：
，設點B，C是直線l：
上的兩點，它們的橫坐標分別是t，
，P點的縱坐標為a且點P在線段BC上，過P點作圓M的切線PA，切點為A
若
，
，求直線PA的方程；
經過A，P，M三點的圓的圓心是D，
將
表示成a的函數
，并寫出定義域．
求線段DO長的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對本班50人進行了問卷調查得到了如下的列聯表：
喜愛打籃球 | 不喜愛打籃球 | 合計 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合計 | 50 |
已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學生的概率為
．
（1）請將上面的列聯表補充完整；
（2）是否有99%的把握認為“喜愛打籃球與性別有關”？說明你的理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正項數列
的前
項和為
，且
．數列
滿足
，
為數列的前項和．
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和；
（3）若對任意的
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，一智能掃地機器人在
處發現位于它正西方向的
處和北偏東30°方向上的
處分別有需要清掃的垃圾，紅外線感應測量發現機器人到的距離比到的距離少0.4米，于是選擇沿
路線清掃，已知智能掃地機器人的直線行走速度為0.2
，忽略機器人吸入垃圾及在處旋轉所用時間，10秒鐘完成了清掃任務．
（1）、兩處垃圾的距離是多少？
（2）智能掃地機器人此次清掃行走路線的夾角
的正弦值是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著人口老齡化的到來，我國的勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已經成為人們越來越關注的話題，為了解公眾對“延遲退休”的態度，某校課外研究性學習小組在某社區隨機抽取了50人進行調查，將調查情況進行整理后制成下表：
年齡 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人數 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年齡 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人數 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
經調查年齡在［25,30),[55,60）的被調查者中贊成“延遲退休”的人數分別是3人和2人.現從這兩組的被調查者中各隨機選取2人，進行跟蹤調查．
（I）求年齡在［25,30）的被調查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率；
（II）若選中的4人中，不贊成“延遲退休”的人數為
，求隨機變量
的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年2月9-25日，第23屆冬奧會在韓國平昌舉行.4年后，第24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行.為了宣傳冬奧會，某大學在平昌冬奧會開幕后的第二天，從全校學生中隨機抽取了120名學生，對是否收看平昌冬奧會開幕式情況進行了問卷調查，統計數據如下：
收看 | 沒收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
(Ⅰ)根據上表說明，能否有
的把握認為，收看開幕式與性別有關？
(Ⅱ)現從參與問卷調查且收看了開幕式的學生中，采用按性別分層抽樣的方法選取8人，參加2022年北京冬奧會志愿者宣傳活動.
(ⅰ)問男、女學生各選取多少人？
(ⅱ)若從這8人中隨機選取2人到校廣播站開展冬奧會及冰雪項目宣傳介紹，求恰好選到一名男生一名女生的概率P.
附：
，其中
.
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