Question

（本小題滿分12分） 已知直線L：y=x+1與曲線C：交于不同的兩點A,B;O為坐標原點。

（1）若，試探究在曲線C上僅存在幾個點到直線L的距離恰為？并說明理由；

（2）若，且a>b,,試求曲線C的離心率e的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）在曲線C上存在3個點到直線L的距離恰為（2）

【解析】

試題分析：(1)在曲線C上存在3個點到直線L的距離恰為。

設(shè)，由得，

                                           2分

又點A,B在直線L上，得，，代入上式化簡得

                                          4分

由

由               6分

所以，于是，這時曲線C表示圓

，O到直線L的距離d=,即有3個點         8分

（2）因為a>b,所以曲線C為焦點在x軸上的橢圓

由，所以，

又，，              9分

由（1）得，，代入上式整理得

，

      可得     

而 

       12分

考點：直線與橢圓相交，直線與圓相交的弦長距離問題及橢圓離心率范圍的求解

點評：第一問由直線與圓錐曲線相交首先利用韋達定理確定了曲線的特點（為圓）進而轉(zhuǎn)化為求圓上的點到直線的距離，第二問求離心率范圍，將離心率求解函數(shù)式用已知中的變量a表示，轉(zhuǎn)換為求函數(shù)值域