Question

F₁，F₂是橢圓C：的焦點，在C上滿足PF₁⊥PF₂的點P的個數為    ．

Answer 1

【答案】分析：法一（代數法）：設|PF₁|=m，|PF₂|=n，根據橢圓的性質可知m+n=2a，又根據PF₁⊥PF₂可知m²+n²=（2c）²，進而求得mn，所以m，n是一元二次方程x²-4x+8=0的兩根，根據判別式可知方程有一個根，再根據橢圓的對稱性可知應有2個點滿足．
法二（幾何法）：由圖形知，∠F₁BF₂=90，故這樣的P點只能有兩個．
解答：解：設|PF1|=m，|PF2|=n
則m+n=2a=4，m²+n²=（2c）²=16
∴mn==8
所以m，n是一元二次方程x²-4x+8=0的兩根
判別式△=32-32=0故此方程有一個實根，
根據橢圓的對稱性可知橢圓上存在2個點P滿足PF₁⊥PF₂
故答案為2．
法二：（幾何法）由橢圓的圖形知∠F₁BF₂=90，故這樣的P點只能有兩個．
故答案為2．
點評：本題主要考查了橢圓的基本性質，屬基礎題．