Question

（2012•江西）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知A=

π

4

，bsin（

π

4

+C）-csin（

π

4

+B）=a，
（1）求證：B-C=

π

2

（2）若a=

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）通過正弦定理以及浪跡花都三角函數化簡已知表達式，推出B-C的正弦函數值，然后說明B-C=

π

2

．
（2）利用a=

2

，通過正弦定理求出b，c，然后利用三角形的面積公式求△ABC的面積．

解答：解：（1）證明：由bsin（

π

4

+C）-csin（

π

4

+B）=a，由正弦定理可得sinBsin（

π

4

+C）-sinCsin（

π

4

+B）=sinA．
sinB（

2

2

sinC+

2

2

cosC）-sinC（

2

2

sinB+

2

2

cosB）=

2

2

．
整理得sinBcosC-cosBsinC=1，
即sin（B-C）=1，
由于0＜B，C＜

3π

4

，從而B-C=

π

2

．
（2）解：B+C=π-A=

3π

4

，因此B=

5π

8

，C=

π

8

，
由a=

2

，A=

π

4

，得b=

asinB

sinA

=2sin

5π

8

，c=

asinC

sinA

=2sin

π

8

，
所以三角形的面積S=

1

2

bcsinA=

2

sin

5π

8

sin

π

8

=

2

cos

π

8

sin

π

8

=

1

2

．

點評：本題考查三角形的解法，正弦定理的應用，兩角和與差的三角函數的應用，考查計算能力．