Question

設數列{a_n}中的前n項和Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0．
（1）求a₁、a₂；
（2）求{a_n}的通項；
（3）令b_n=20-a_n，求數列{b_n}的前多少項和最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）y由Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0，當n=1時，，可求a₁=1，當n=2時，S₂=1+a₂可求a₂=3
（2）由Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0．可得當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

(an+1)2

4

-

( an-1+1)2

4

可得a_n-a_n-1=2，結合等差數列的通項公式可求
（3）由b_n=20-a_n=21-2n可得S_n=-n²+20n=-（n-10）²+100，結合二次函數的性質可求和的最大值及取得最大值的條件

解答：解：（1）∵Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0
當n=1時，a₁=s1=

1

4

(a1+1)2，此時a₁=1
當n=2時，S₂=1+a₂=

1

4

(a2+1)2，此時a₂=3
（2）∵Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

(an+1)2

4

-

( an-1+1)2

4

∴（a_n-1）²=（a_n-1+1）²
∴（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0
∵a_n＞0
∴a_n+a_n-1≠0
∴a_n-a_n-1=2
數列{a_n}是以2為公差，以為首項的等差數列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（3）∵b_n=20-a_n=21-2n
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=19n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n²+20n
=-（n-10）²+100
當n=10，和最大，最大值是100

點評：本題主要考查了由數列的遞推公式求解數列的項及數列的通項，等差數列的通項公式及求和公式的綜合應用，解題的關鍵是能綜合應用等差數列的綜合知識．