Question

已知向量

u

=(x，y)與向量

v

=(y，2y-x)的對應關系可用

v

=f(

u

)表示．
（1）設

a

=(1，1)，

b

=(1，0)，求向量f(

a

)及f(

b

)的坐標；
（2）證明：對于任意向量

a

、

b

及常數m、n，恒有f(m

a

+n

b

)=mf(

a

)+nf(

b

)成立；
（3）求使f(

c

)=(3，5)成立的向量

c

．

Answer 1

分析：（1）直接利用題中的對應關系求出 f（

a

 ）=（1，2-1）=（1，1），f（

b

）=（0，2×0-1）=（0，-1），
（2） 設出任意向量

a

、

b

的坐標，分別計算要證等式的左邊的右邊，比較計算結果可得等式成立．
（3）設

a

=（x，y），則 f（

a

）=（y，2y-x），∴

y=3 2y-x=5

，解方程可求向量

c

的坐標．

解答：解：（1）f（

a

 ）=（1，2-1）=（1，1），f（

b

）=（0，2×0-1）=（0，-1），
∴f(

a

)=(1，1)，f(

b

)=(0，-1)．
（2）設

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，∴m

a

+n

b

=（mx₁+nx₂，my₁+ny₂ ），
∴f（m

a

+n

b

 ）=（ my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴mf（

a

）+nf（

b

）=m（y₁，2y₁-x₁ ）+n（y₂，2y₂-x₂ ）=（ my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴對于任意向量

a

、

b

及常數m、n，f(m

a

+n

b

)=mf(

a

)+nf(

b

)成立．
（3）設

a

=（x，y），則 f（

a

）=（y，2y-x），∴

y=3 2y-x=5

，
∴x=1，y=3，∴

c

=(1，3)．

點評：本題考查兩個向量坐標形式的運算，以及用待定系數法求向量的坐標．