Question

（2008•寧波模擬）已知函數f(x)=Asin(ωx+?)，(A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

)圖象關于點B(-

π

4

，0)對稱，點B到函數y=f（x）圖象的對稱軸的最短距離為

π

2

，且f(

π

2

)=1．
（1）求A，ω，?的值；
（2）若0＜θ＜π，且f(θ)=

1

3

，求cos2θ的值．

Answer 1

分析：（1）先由對稱中心到對稱軸的最近距離為四分之一周期，知函數的周期為2π，由周期計算公式即可得ω的值，再由點B是函數的對稱中心，代入函數解析式，結合φ的范圍即可得φ值，最后由f（

π

2

）=1，得振幅A；
（2）先由兩角和的正弦公式將f（θ）化為角θ的正弦與余弦的和，再利用同角三角函數基本關系式結合角θ的范圍，計算θ角的正弦與余弦值之差，最后由二倍角公式計算cos2θ即可

解答：解：（1）∵點B到函數y=f（x）圖象的對稱軸的最短距離為

π

2

，且點B是函數f(x)=Asin(ωx+?)，(A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

)的對稱中心
∴

T

4

=

π

2

，∴T=2π
∴

2π

ω

=4×

π

2

=2π，
∴ω=1
又∵點B(-

π

4

，0)是函數f（x）的對稱中心
∴f(-

π

4

)=Asin(-

π

4

+?)=0，
∴sin(?-

π

4

)=0
∵0＜?＜

π

2

，
∴-

π

4

＜?-

π

4

＜

π

4

，
∴?-

π

4

=0，
∴?=

π

4

又f(

π

2

)=Asin(

π

2

+

π

4

)=

2

2

A=1，
∴A=

2

∴A=

2

，ω=1，?=

π

4

（2）∵f（θ）=

2

sin(θ+

π

4

)=sinθ+cosθ=

1

3

∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=

1

9

∴2sinθcosθ=-

8

9

＜0，∵0＜θ＜π
∴sinθ＞0，
∴cosθ＜0
∴sinθ-cosθ=

(sinθ-cosθ) 2

=

1-2sinθcosθ

=

1+ 8 9

=

17

3

∴cos2θ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）=

1

3

×（-

17

3

）=-

17

9

點評：本題考查了f(x)=Asin(ωx+?)，(A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

)型三角函數的圖象和性質，特別是參數求A，ω，?的意義及求法；同角三角函數基本關系式及三角變換公式的運用