Question

已知0＜x＜＜y＜π且sin（x+y）=
（Ⅰ）若tg=，分別求cosx及cosy的值；
（Ⅱ）試比較siny與sin（x+y）的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵0＜x＜＜y＜π，tan=，且0＜＜，
∴cos==，sin=，
則cosx=2cos²-1=，sinx=，
又sin（x+y）=，＜x+y＜，
∴cos（x+y）=-，
∴cosy=cos[（x+y）-x]
=cos（x+y）cosx+sin（x+y）sinx
=；

（Ⅱ）∵0＜x＜y＜π，
∴＜x+y＜，＜y＜x+y＜，
又y=sinx在[，]上為減函數(shù)，
∴siny＞sin（x+y）．
分析：（Ⅰ）根據(jù)x的范圍得到的范圍，由tan的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cos的值，進而再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin的值，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，由sin和cos的值及x的范圍，即可求出sinx和cosx的值，再根據(jù)x與y的范圍得到x+y的范圍，由sin（x+y）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（x+y）的值，然后把y變?yōu)椋▁+y）-x，利用兩角差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由x與y的范圍求出x+y的范圍及x+y大于y，然后根據(jù)正弦函數(shù)在x+y的范圍中為減函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到siny大于sin（x+y）．
點評：此題考查學(xué)生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．