Question

（本小題滿分14分）
已知數列的前項和為，且 N.
（1） 求數列的通項公式；
（2）若是三個互不相等的正整數，且成等差數列，試判斷
是否成等比數列？并說明理由.

Answer 1

（1）（2）不是等比數列，假設成等比數列，則， 即，
化簡得：. （*） ∵，∴，這與（*）式矛盾，故假設不成立

解析試題分析：(1) 解：，
∴ 當時，有  解得 .
由,              ①
得, ② 
② - ①得: .            ③ 
以下提供兩種方法：
法1：由③式得：，
即; 
，
∵，
∴數列是以4為首項,2為公比的等比數列.                  
∴,即.
當時, ，
又也滿足上式,
∴.
法2：由③式得：，
得.                      ④ 
當時,,            ⑤ 
⑤-④得：.     
由，得，
∴. 
∴數列是以為首項，2為公比的等比數列.   ∴.
（2）解：∵成等差數列，
∴.
假設成等比數列，
則，
即，
化簡得：.       （*）
∵，
∴，這與（*）式矛盾，故假設不成立.……13分
∴不是等比數列.
考點：數列的通項公式、數列的前項和
點評：本題需要構造新數列，難度很大，求解中用到的關系式
第二問中的反證法的應用比綜合法分析法更簡單實用；本題還考查了合情推理、化歸與轉化、特殊與一般的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力