Question

給定圓C：x²+y²=4，過點P（1，0）作兩條互相垂直的直線與C分別交于A、B和M，N，則

|AB|

|MN|

+

|MN|

|AB|

的最大值是

7 3

6

．

Answer 1

分析：由圓C的方程找出圓心C的坐標和半徑r，設出直線AB的斜率為k，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，得到直線MN的斜率為-

1

k

，由兩直線都過P點，進而分別表示出兩直線的方程，利用點到直線的距離公式分別求出圓心到兩直線的距離d₁和d₂，由垂徑定理得到垂足為中點，由弦心距，半徑，利用勾股定理求出弦的一半，進而表示出|AB|和|MN|，得出|AB|²+|MN|²的值為定值，再表示出|MN|•|AB|，變形后求出|MN|•|AB|的最小值，把所求的式子通分后，將求出的|AB|²+|MN|²的值及|MN|•|AB|的最小值代入，即可求出所求式子的最大值．

解答：解：由圓的方程x²+y²=4，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=2，
設直線AB的方程為：y=k（x-1），即kx-y-k=0，
則直線MN的方程為：y=-

1

k

（x-1），即x+ky-1=0，
∴圓心到直線AB的距離d₁=

|k|

1+k2

，到直線MN的距離d₂=

1

1+k2

，
∴|AB|=2

r2-d12

=2

4+3k2 1+k2

，|MN|=2

r2-d22

=2

3+4k2 1+k2

，
∵|MN|•|AB|=4

4+3k2 1+k2 • 3+4k2 1+k2

=4

12(K4+2K2+1)  +K2 K4+2K2+1

=4

12+ K2 K4+2K2+1

≥4

12

=8

3

，
∴（|MN|•|AB|）_min=8

3

，
∵|AB|²+|MN|²=4（

4+3k2

1+k2

+

3+4k2

1+k2

）=

28(1+k2)

1+k2

=28，
∴

|AB|

|MN|

+

|MN|

|AB|

=

|AB|2+|MN|2

|MN|•|AB|

=

28

|MN|•|AB|

，
當（|MN|•|AB|）_min=8

3

時，
則（

|AB|

|MN|

+

|MN|

|AB|

）_max=

28

8 3

=

7 3

6

．
故答案為：

7 3

6

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，兩直線垂直時斜率滿足的關系，直線的一般式方程，以及圓的標準方程，其中得出|AB|²+|MN|²的值為定值，同時求出|MN|•|AB|的最小值是解本題的關鍵．