Question

已知函數f（x）=tan（2x+

π

4

）
（I）求該函數的定義域，周期及單調區間；
（II）若f（θ）=

1

7

，求

2cos2 θ 2 -sinθ-1

2 sin(θ+ π 4 )

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據正切函數的周期公式，定義域和單調區間，在把“2x+

π

4

”當成一個整體代入分別求解，再用集合和區間的形式表示出來；
（Ⅱ）先把所求的式子，利用余弦的倍角和正弦的兩角和的公式進行化簡后，根據特點需要求tanθ的值，再把條件代入解析式，利用角的關系求出tan2θ，再由正切的倍角公式求出tanθ，代入求值即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，T=

π

2

由2x+

π

4

≠

π

2

+kπ（k∈Z）得，x≠

kπ

2

+

π

8

，
由-

π

2

+kπ＜2x+

π

4

＜

π

2

+kπ（k∈Z）得，

kπ

2

-

3π

8

＜x＜

kπ

2

+

π

8

，
綜上得，函數的周期是

π

2

，定義域是{x|x≠

kπ

2

+

π

8

，k∈Z}，
單調增區間是（

kπ

2

-

3π

8

，

kπ

2

+

π

8

）（k∈Z）．
（Ⅱ）式子

2cos2 θ 2 -sinθ-1

2 sin(θ+ π 4 )

=

cosθ-sinθ

sinθ+cosθ

=

1-tanθ

tanθ+1

①，
∵f（θ）=

1

7

，∴tan（2θ+

π

4

）=

1

7

，
則tan2θ=tan[（2θ+

π

4

）-

π

4

]=

1 7 -1

1+ 1 7

=-

3

4

，
由tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=-

3

4

得，tanθ=3或-

1

3

，
把tanθ=3代入上式①得，

2cos2 θ 2 -sinθ-1

2 sin(θ+ π 4 )

=-

1

2

，
把tanθ=-

1

3

代入上式①得，

2cos2 θ 2 -sinθ-1

2 sin(θ+ π 4 )

=2．

點評：本題考查了正且函數的周期、定義域和單調區間的求法，以及正弦的兩角和、余弦和正切的倍角公式的應用，應先對所求的式子化簡后再進行求值，注意角之間的關系．