Question

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
（A）（幾何證明選做題）如圖，CD是圓O的切線，切點為C，點B在圓O上，BC=2，∠BCD=30°，則圓O的面積為

4π

；
（B）（極坐標系與參數(shù)方程選做題）極坐標方程ρ=2sinθ+4cosθ表示的曲線截θ=

π

4

(ρ∈R)所得的弦長為

3

2

；
（C）（不等式選做題）  不等式|2x-1|＜|x|+1解集是

（0，2）

．

Answer 1

分析：（A）通過弦切角轉化為，圓周角，然后求出圓心角，結合弦長，得到半徑，然后求出圓的面積．
（B）把極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，再由弦長公式求出弦長．
（C）由不等式可得①

x＜0 1-x＜1

，或②

0 ≤x＜ 1 2 1-3x＜1

，或 ③

x≥  1 2 x-1＜1

．分別求出①②③的解集，再取并集即可求得不等式的解集．

解答：解：（A）因為弦切角等于同弧上的圓周角，所以，∠BCD=30°，
∠A=30°，則∠BOC=60°，
根據(jù)60°的圓心角所對弦等于半徑，BC=2，
所以圓的半徑為2，所以圓的面積為：4π
故答案為：4π．
（B）極坐標方程ρ=2sinθ+4cosθ 化為直角坐標方程為
（x-2）²+（y-1）²=5，
表示的曲線是以（2，1）為圓心，以

5

為半徑的圓．
θ=

π

4

(ρ∈R) 化為直角坐標方程為 y=x，表示一條直線．
圓心到直線的距離等于d=

|2-1|

2

=

2

2

．
∴方程ρ=2sinθ+4cosθ表示的曲線截θ=

π

4

(ρ∈R)所得的弦長為 2

r2-d2

=2

5- 1 2

=3

2

，
故答案為 3

2

．
（C）由不等式|2x-1|＜|x|+1即|2x-1|-|x|＜1，可得①

x＜0 1-x＜1

，或②

0 ≤x＜ 1 2 1-3x＜1

，或 ③

x≥  1 2 x-1＜1

．
解①得x∈∅，解②得 0＜x＜

1

2

，解③得

1

2

≤x＜2．
綜上可得，不等式的解集為 （0，2），
故答案為 （0，2）．

點評：本題主要考查弦切角的應用，圓周角與圓心角的關系，確定面積的求法；把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，絕對值不等式的求法，考查計算能力，
屬于中檔題．