Question

給定下列命題：
①函數y=sin(

π

4

-2x)的單增區間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)；
②已知|

a

|=|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為

π

3

，則

a

+

b

在

a

上的投影為3；
③函數y=f（x）與y=f^-1（x）-1的圖象關于直線x-y+1=0對稱；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

處取得最小值，則f(

3π

2

-x)=-f(x)；
⑤若sinx+siny=

1

3

，則siny-cos2x的最大值為

4

3

．
則真命題的序號是

①②③④

．

Answer 1

分析：①函數y=sin(

π

4

-2x)的增區間滿足-

π

2

+2kπ≤

π

4

-2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z，故①正確；
②

a

+

b

在

a

上的投影為2+2xsin30°=3，故②正確；
③由函數y=f（x）與y=f^-1（x）圖象關于直線x-y=0對稱，知③正確；
④由f（x）=asinx-bcosx=

a2+b2

sin(x-θ)在x=

π

4

處取得最小值，其中tanθ=

b

a

，得θ=-

5π

4

，所以f(

3π

2

-x)=-f(x)，故④成立；
⑤sinx+siny=

1

3

，siny=

1

3

-sinx，由此能導出sinx=-

1

4

時，有ω_max=-

13

24

，故⑤不正確．

解答：解：①函數y=sin(

π

4

-2x)的增區間滿足-

π

2

+2kπ≤

π

4

-2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴函數y=sin(

π

4

-2x)的增區間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)，故①正確；
②∵|

a

|=|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為

π

3

，
∴

a

+

b

在

a

上的投影為|

a

|+|

b

|•sin（

π 3

2

）=2+2xsin30°=2+1=3，故②正確；
③由函數y=f（x）與y=f^-1（x）圖象關于直線x-y=0對稱，
知函數y=f（x）與y=f^-1（x）-1的圖象關于直線x-y+1=0對稱，故③正確；
④∵f（x）=asinx-bcosx=

a2+b2

sin(x-θ)在x=

π

4

處取得最小值，其中tanθ=

b

a

，
所以

π

4

-θ=

3π

2

，得θ=-

5π

4

，
所以f(

3π

2

-x)=-f(x)，故④成立；
⑤sinx+siny=

1

3

，siny=

1

3

-sinx，
由-1≤siny≤1，-1≤sinx≤1得
-1≤

1

3

-sinx≤1
-

2

3

≤sinx≤1
ω=siny-cos²x
=

1

3

-sinx-2sin²x-1
=-2sin²x-sinx-

2

3

=-2（sinx+

1

4

）²-

13

24

sinx=-

1

4

時，有ω_max=-

13

24

，故⑤不正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查命題的真假判斷，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數、向量、函數對稱性等知識點的應用，解題時要認真審題，仔細解答．