Question

下面命題正確的是

④

．
①存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=1；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ；
③在△ABC中，若sinAsinB＞cosAcosB，則這個(gè)三角形是銳角三角形；
④函數(shù)y=cos²x+sinx的最小值是-1；
⑤若cosθ＜0且sinθ＞0，則

θ

2

是第一象限角．

Answer 1

分析：①sinαcosα利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域得到sinαcosα的范圍，根據(jù)范圍得到其值不能等于1，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②由α，β是第一象限角，可找兩個(gè)角且α＞β，但是tanα＜tanβ，利用反例可說(shuō)明本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③把已知的不等式移項(xiàng)后，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)A和B為三角形的內(nèi)角，可得出A+B為鈍角，從而得到C為銳角，但是A和B不一定為銳角，故此三角形不一定為銳角三角形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④把函數(shù)利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)，根據(jù)sinx的值域，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)的最小值，即可作出判斷；
⑤根據(jù)題意得出sinθ與cosθ異號(hào)，得出θ為第二或第四象限角，進(jìn)而得到

θ

2

是第一或第四象限角，本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

解答：解：①∵sinαcosα=

1

2

sin2α，且sin2α∈[-1，1]，
∴sinαcosα∈[-

1

2

，

1

2

]，
則不存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=1，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②若α，β是第一象限角，令α=

13π

6

，β=

π

3

，
滿足α＞β，但是tanα=tan（2π+

π

6

）=tan

π

6

=

3

3

，tanβ=

3

，
即tanα＜tanβ，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③sinAsinB＞cosAcosB，變形得：cosAcosB-sinAsinB＜0，
即cos（A+B）＜0，又A和B都為三角形的內(nèi)角，
∴A+B∈（

π

2

，π），即C為銳角，
但三角形不一定為銳角三角形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④函數(shù)y=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-（sinx-

1

2

）²+

5

4

，
又-1≤sinx≤1，
則當(dāng)sinx=-1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為-1，本選項(xiàng)正確；
⑤由cosθ＜0且sinθ＞0，得到θ為第二或四象限，
則

θ

2

為第一象限或第四象限，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，
則正確的選項(xiàng)為④．
故答案為：④

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生掌握知識(shí)要全面．