Question

（A）4-2矩陣與變換
已知二階矩陣M的特征值是λ₁=1，λ₂=2，屬于λ₁的一個特征向量是e1=

1 1

，屬于λ₂的一個特征向量是e2=

-1 2

，點A對應的列向量是a=

1 4

．
（Ⅰ）設a=me₁+ne₂，求實數m，n的值．
（Ⅱ）求點A在M⁵作用下的點的坐標．

（B）4-2極坐標與參數方程
已知直線l的極坐標方程為ρsin(θ-

π

3

)=3，曲線C的參數方程為

x=cosθ y=3sinθ

，設P點是曲線C上的任意一點，求P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析：（A）：（Ⅰ）把兩個特征向量代入a=me₁+ne₂，讓其等于

.

1   4

.

，得到關于m與n的二元一次方程組，求出方程組的解集即可得到m與n的值；
（Ⅱ）根據二階矩陣的線性變換，得到M⁵a=M⁵（2e₁+e₂）=2M⁵e₁+M⁵e₂=2λ₁⁵e₁+λ₂⁵e₂=2e₁+2⁵e₂，分別把兩個特征向量代入即可求出點A在M⁵作用下的點的坐標；
（B）：把極坐標方程利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，根據ρsinθ=y，ρcosθ=x，把極坐標方程化為普通方程得到直線l的方程，設出曲線C參數方程一點坐標，利用點到直線的距離公式表示出P到直線l的距離d，利用兩角和的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，根據余弦函數的值域即可求出d的最大值．

解答：（A）4-2矩陣與變換
解：（Ⅰ）由a=me₁+ne₂得：

1 4

=m

1 1

+n

-1 2

，即

1=m-n 4=m+2n

?

m=2 n=1

．
（Ⅱ）二階矩陣M對應的變換是線性變換
所以M⁵a=M⁵（2e₁+e₂）=2M⁵e₁+M⁵e₂
=2λ₁⁵e₁+λ₂⁵e₂=2e₁+2⁵e₂
=2

1 1

+25=

2-25 2+26

=

-30 66

所以點A在M⁵作用下的點的坐標（-30，66）．
（B）4-2極坐標與參數方程
解：由ρsin(θ-

π

3

)=3，得：ρ(

1

2

sinθ-

3

2

cosθ)=3，∴y-

3

x=6，即：

3

x-y+6=0
又曲線C的參數方程是

x=cosθ y=3sinθ

，設點P坐標為（cosθ，3sinθ），
則點P到直線l的距離是d=

| 3 cosθ-3sinθ+6|

( 3 )2+12

=

| 3 cosθ-3sinθ+6|

2

=

|2 3 cos(θ+ π 3 )+6|

2

≤

|2 3 +6|

2

=

3

+3
所以，P到直線l的距離的最大值為

3

+3．

點評：此題考查了二階矩陣的線性表示，會將簡單的極坐標方程化為普通方程，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦、余弦函數公式化簡求值，是一道綜合題．