Question

22.已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足

S_n=2a_n+（－1）ⁿ,n≥1.

（Ⅰ）寫出數列{a_n}的前3項a₁,a₂,a₃;

（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式;

（Ⅲ）證明：對任意的整數m＞4,有++…+＜.

Answer 1

22.本小題主要考查數列的通項公式,等比數列的前n項和以及不等式的證明.考查靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力.

（Ⅰ）解：由a₁=S₁=2a₁－1,得a₁=1.

由a₁+a₂=S₂=2a₂+（－1）²,得a₂=0.

由a₁+a₂+a₃=S₃=2a₃+（－1）³,得a₃=2.

（Ⅱ）解：當n≥2時,有

a_n=S_n－S_n－1=2（a_n－a_n－1）+2×（－1）ⁿ，

a_n=2a_n－1+2×（－1）^n－1，

a_n－1=2a_n－2+2×（－1）^n－2，

……

a₂=2a₁－2.

所以a_n=a₁+×（－1）+×（－1）²+…+2×（－1）^n－1

=2^n－1+（－1）ⁿ［++…+（－2）］

=－（－1）ⁿ

=［2^n－2+（－1）^n－1］.

經驗證a₁也滿足上式,所以a_n=［2^n－2+（－1）^n－1］,n≥1.

（Ⅲ）證明：由通項公式得a₄=2.

當n≥3且n為奇數時,+=［］

=×＜×

=（+）.

當m＞4且m為偶數時,++…+

=+（+）+…+（+）

<+（++…+）

=+××（1－）

<+=.

當m>4且m為奇數時，

++…+<++…++<.

所以對任意整數m>4,有

++…+<.