Question

已知長方形的四個頂點A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一質點從AB的中點P₀沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的點P₂、P₃和P₄（入射角等于反射角）．設P₄的坐標為（x₄，0）．若1＜x₄＜2，求tanθ的取值范圍．

Answer 1

分析：本題可以畫出圖形，由∠P₁P₀B=θ，利用對稱性得到角的關系∠P₁P₂C=∠P₃P₂D=∠AP₄P₃=θ，然后利用三角函數來解答，可以設P₁B=x，得到這些角的三角函數值關于x的關系式，再由P₄的坐標為（x₄，0）以及1＜x₄＜2，可解得tanθ的取值范圍．

解答：解：設P₁B=x，
∠P₁P₀B=θ，則CP₁=1-x，
∠P₁P₂C、∠P₃P₂D、∠AP₄P₃均為θ，∴tanθ=

P1B

P0B

=x．
又tanθ=

CP1

CP2

=

1-x

CP2

=x，
∴CP₂=

1-x

x

=

1

x

-1．
而tanθ=

P3D

P2D

=

DP3

2-( 1 x -1)

=

DP3

3- 1 x

=x，
∴DP₃=x（3-

1

x

）=3x-1．
又tanθ=

AP3

AP4

=

1-(3x-1)

AP4

=

2-3x

AP4

=x，
∴AP₄=

2-3x

x

=

2

x

-3．
依題設1＜AP₄＜2，即1＜

2

x

-3＜2，
∴4＜

2

x

＜5，

1

4

＞

x

2

＞

1

5

．
∴

1

2

＞tanθ＞

2

5

．

點評：本題考查三角函數的概念以及利用三角函數解答相關問題的能力，軸對稱圖形的應用，對解不等式及不等式思想的考查等內容．