Question

已知可導函數f（x）（x∈R）的導函數f'（x）滿足f'（x）＞f（x），則當a＞0時，f（a）和e^af（0）（e是自然對數的底數）大小關系為

f（a）＞e^af（0）

．

Answer 1

分析：構造函數g（x）=

f(x)

ex

，利用導數研究其單調性，注意到已知f'（x）＞f（x），可得g（x）為單調增函數，最后由a＞0，代入函數解析式即可得答案．

解答：解：設g（x）=

f(x)

ex

，
∵f'（x）＞f（x），
∴g′（x）=

(f′(x)-f(x))•ex

e2x

＞0
∴函數g（x）為R上的增函數
∵a＞0
∴g（a）＞g（0）
即

f(a)

ea

＞ 

f(0)

e0

∴f（a）＞e^af（0）
故答案為：f（a）＞e^af（0）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，恰當的構造函數，并能利用導數研究其性質是解決本題的關鍵．