Question

已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且α∈（0，π）．
（1）若|

OA

+

OC

|=

7

，求

OB

與

OC

的夾角的余弦值．
（2）若

AC

⊥

BC

，求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）由|

OA

+

OC

|=

7

得出cosα與sinα所滿足的條件，將其代入

OB

與

OC

的夾角的余弦公式中求出余弦值即可．
（2）兩向量垂直，則它們的內積為0，由此建立關于cosα，sinα的方程由此方程結合同角三角函數的關系求出正切值即可．

解答：解：（1）∵由|

OA

+

OC

|=

7

，A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），
∴（2+cosα）²+sin²α=7，解得cosα=

1

2

OB

與

OC

的夾角的余弦值為

OB • OC

| OB || OC |

=

2sinα

2

=sinα=

1-cos2α

=

3

2

OB

與

OC

的夾角的余弦值是

3

2

（2）∵

AC

⊥

BC

∴

AC

•

BC

=0又

AC

=（cosα-2，sinα），

BC

=（cosα，sinα-2），
∴cos²α-2cosα+sin²α-2sinα=0
即cosα+sinα=

1

2

即1+2cosαsinα=

1

4

即

tanα

1+tan 2α

=-

3

8

，解得tanα=-

4± 7

3

又由cosα+sinα=

1

2

及向量夾角的取取值范圍知，α是個鈍角且正弦的絕對值大于余弦的絕對值
故tanα=-

4+ 7

3

點評：本題考查數量積表示兩個向量的夾角以及三角函數的恒等變換及化簡求值，求解此類題的關鍵是正確應用公式時行變形，以及正確運算，莫因馬虎算錯導致前功盡棄．