Question

【題目】已知函數，給出下列結論：

①的單調遞減區間；

②當時，直線y=k與y=f （x）的圖象有兩個不同交點；

③函數y=f（x）的圖象與的圖象沒有公共點；

④當時，函數的最小值為2．

其中正確結論的序號是_________

Answer 1

【答案】①③

【解析】

①先求出函數的導數，令導函數小于0，解出即可判斷；②根據函數的單調性畫出函數的圖象，通過圖象讀出即可；③求出f（x）的最大值小于y＝x2+1的最小值，從而得到答案；④利用對勾函數即可作出判斷．

解：①f′（x），令f′（x）＜0，解得：x＞1，

∴函數f（x）在（1，+∞）遞減，故①正確；

②∵f（x）在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

∴f（x）max＝f（1），

x→﹣∞時，f（x）→﹣∞，x→+∞時，f（x）→0，

畫出函數f（x）的圖象，如圖示：

，

∴當k∈（﹣∞，0）時，直線y＝k與y＝f（x）的圖象有1個不同交點，

當k∈（0，）時，直線y＝k與y＝f（x）的圖象有兩個不同交點，故②錯誤；

③函數f（x），而y＝x2+1≥1，

∴函數y＝f（x）的圖象與y＝x2+1的圖象沒有公共點，故③正確；

④當時，令t=，

在上單調遞減，

∴，最小值不等于2，故④錯誤.

故答案為：①③．