Question

（本題滿分12分）
已知函數
（1）若函數存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
（2）當a>0時，試討論這兩個函數圖象的交點個數．

Answer 1

（1）a>1
（2）有且僅有兩個交點

（1）
若使存在單調遞減區間，則上有解．……1分
而當
問題轉化為上有解，故a大于函數上的最小值．
………………3分
又上的最小值為-1，所以a>1．……4分
（2）令
函數的交點個數即為函數的零點的個數．……5分

令解得
隨著x的變化，的變化情況如下表：

	-	0	+
	單調遞減	極（最）小值2+lna	單調遞增

                                                                     …………7分
①當恒大于0，函數無零點．……8分
②當由上表，函數有且僅有一個零點．
……9分
③顯然
內單調遞減，
所以內有且僅有一個零點                                                      …………10分
當
由指數函數與冪函數增長速度的快慢，知存在
使得
從而
因而
又內單調遞增，上的圖象是連續不斷的曲線，
所以內有且僅有一個零點．  …………11分
因此，有且僅有兩個零點．
綜上，的圖象無交點；當的圖象有且僅有一個交點；的圖像有且僅有兩個交點．……12分