Question

（本小題滿分12分）

已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，F為棱BB₁的中點，M為線段AC₁的中點．

求證：

（Ⅰ）直線MF∥平面ABCD；

（Ⅱ）平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

（本小題滿分12分）

證明：（Ⅰ）取DD₁中點E,易得AF∥CE且AF＝CE，可得AFC₁E…………3分

M為線段AC₁的中點，M在線段EF上，連結BD MF∥BD．

       又MF平面ABCD，BD平面ABCD,∴MF∥平面ABCD．     …………6分

   （Ⅱ）連結BD，由直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，可知A₁A⊥平面ABCD.

       又∵BD平面ABCD，∴A₁A⊥BD，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD． ……8分

       又∵AC∩A₁A=A，AC，AA₁平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁．………10分

       由（Ⅰ）得MF∥BD，∴MF⊥平面ACC₁A₁，又因為MF平面AFC₁

       ∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁.