Question

(本小題滿分14分)
已知橢圓的兩個焦點，過且與坐標軸不平行的直線與橢圓相交于M，N兩點，如果的周長等于8．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線與橢圓交于不同兩點P、Q，試問在軸上是否存在定點E（，0），使恒為定值?若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) ="1"  
(2) 時，為定值

解：（I）由題意知 = ，，（2分）∴ ， =1
∴橢圓的方程為="1"   （4分）
（II）當直線的斜率存在時，設其斜率為，則的方程為
  消去得     （6分）
設
則由韋達定理得       （7分）
則
∴=
=
=
=  （10分）
要使上式為定值須，解得   
∴為定值   （12分）當直線的斜率不存在時由
可得  
∴=綜上所述當時，為定值   （14分）