Question

設n為自然數,f(n)=1+++…+.

(1)試證:若m、n∈N^*且m＜n,則f(n)≥f(m)+,并指出取等號的條件;

(2)計算得f(2)=,f(4)＞2,f(8)＞,f(16)＞3,f(32)＞,觀察上述結果,推測一般的不等式,并用數學歸納法證明.

Answer 1

(1)證明:由m＜n,得

    f(n)-f(m)=(1++…+)-(1++…+)=++…+≥=.

    ∴f(n)≥f(m)+,其中當且僅當n-m=1時,等號成立.

(2)解:由f(2)≥,f(2²)＞2=,f(8)=f(2³)＞,f(16)=f(2⁴)＞3=,f(32)=f(2⁵)＞,推測當n∈N^*時,f(2ⁿ)≥,下面用數學歸納法證明:

    ①當n=2時,f(2²)=＞,不等式成立.

    ②假設n=k(k≥2)時,不等式成立,即f(2^k)≥.

    那么f(2^k+1)≥f(2^k)+≥+==,

    即當n=k+1時,f(2^k+1)≥,命題成立.

    根據①②可得對于n≥2的自然數n命題成立.