Question

已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的所有棱長均為2，G為AF的中點．
（1）求證：F₁G∥平面BB₁E₁E；
（2）求證：平面F₁AE⊥平面DEE₁D₁；
（3）求四面體EGFF₁的體積．

Answer 1

分析：（1）根據AF∥BE，AF?平面BB₁E₁E，滿足線面平行的判定定理，則AF∥平面BB₁E₁E，同理可證，AA₁∥平面BB₁E₁E，根據面面平行的判定定理可知平面AA₁F₁F∥平面BB₁E₁E，又F₁G?平面AA₁F₁F，根據面面平行的性質可知F₁G∥平面BB₁E₁E；
（2）根據底面ABCDEF是正六邊形，則AE⊥ED，又E₁E⊥底面ABCDEF，所以E₁E⊥AE，而E₁E∩ED=E，根據線面垂直的判定定理可知
AE⊥平面DD₁E₁E，又AE?平面F₁AE，最后根據面面垂直的判定定理可知平面F₁AE⊥平面DEE₁D₁；
（3）根據F₁F⊥底面FGE，則四面體EGFF₁的高為F₁F，然后利用三棱錐的體積公式進行求解即可．

解答：解：
（1）證明：因為AF∥BE，AF?平面BB₁E₁E，
所以AF∥平面BB₁E₁E，（2分）
同理可證，AA₁∥平面BB₁E₁E，（3分）
所以，平面AA₁F₁F∥平面BB₁E₁E（4分）
又F₁G?平面AA₁F₁F，所以F₁G∥平面BB₁E₁E（5分）
（2）因為底面ABCDEF是正六邊形，所以AE⊥ED，（7分）
又E₁E⊥底面ABCDEF，所以E₁E⊥AE，
因為E₁E∩ED=E，所以AE⊥平面DD₁E₁E，（9分）
又AE?平面F₁AE，所以平面F₁AE⊥平面DEE₁D₁（10分）
（3）∵F₁F⊥底面FGE，
VE-GFF1=VF1-GFE=

1

3

S△GEF•FF1=

1

3

×

1

2

×1×2sin120o×2=

3

3

點評：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定和三棱錐的體積的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現，值得重視．