Question

（本小題滿分12分）
已知各項均為正數的數列滿足, 且,
其中．
（I）求數列的通項公式;
（II）設數列的前項和為,令,其中,試比較與的大小,并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ)因為,即
又,所以有,所以
所以數列是公比為的等比數列.     …………………………………………3分
由得, 解得.
故數列的通項公式為.  ……………………………………….6分
（II）因，所以
即數列是首項為,公比是的等比數列.
所以，……………………………………….……………………………………7分
則
又 .   ……………………………………8分

法一：數學歸納法
猜想
①當時，,上面不等式顯然成立；
②假設當時，不等式成立
當時，.
綜上①②對任意的均有……………………………………….10分
法二：二項式定理：因為,
所以
.
即對任意的均有.   ……………………………………..10分
又,  

所以對任意的均有.   ………………………….12分

略