Question

給出下列幾個命題：
①若函數f（x）的定義域為R，則g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數；
②若函數f（x）是定義域為R的奇函數，對于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③已知x₁，x₂是函數f（x）定義域內的兩個值，當x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂），則f（x）是減函數；
④設函數y=

1-x

+

x+3

的最大值和最小值分別為M和m，則M=

2

m；
⑤若f（x）是定義域為R的奇函數，且f（x+2）也為奇函數，則f（x）是以4為周期的周期函數．
其中正確的命題序號是

①④⑤

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：由偶函數的定義，可判斷①的真假；由函數對稱性滿足的條件，及函數周期性的性質，可以判斷②的真假；由減函數的定義，可判斷③的真假；根據函數的解析式，分析出函數的單調性，進而分析出函數的最值，可判斷④的真假；由周期函數的定義及性質，可以判斷⑤的真假，進而得到答案．

解答：解：∵g（x）=f（x）+f（-x），∴g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），故①g（x）是偶函數為真命題，
∵定義域為R的奇函數f（x），對于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則函數關于點（1，0）成中心對稱，故②函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱為假命題；
若f（x）是減函數，則要求任意x₁＜x₂，均有f（x₁）＞f（x₂），由于③中x₁，x₂是函數f（x）定義域內的兩個值，不具有任意性，故③為假命題；
函數y=

1-x

+

x+3

的定義域為[-3，1]，且函數y=

1-x

+

x+3

在[-3，-1]上為增函數，在[-1，1]上為減函數，故m=2，M=2

2

，∴M=

2

m，故④正確
若f （x）是定義在R上的奇函數，且f （x+2）也為奇函數，則f （x）是以4為周期的周期函數，故⑤為真命題．
故答案為：①④⑤

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，函數單調性的判斷與證明，函數奇偶性的判斷，函數圖象的對稱性，及函數的奇偶性，是函數性質的綜合應用，熟練掌握函數性質的判定法則及函數性質的定義是解答本題的關鍵．