Question

【題目】已知圓C1：（x+1）2+y2=25，圓C2：（x﹣1）2+y2=1，動圓C與圓C1和圓C2均內切．

（1）求動圓圓心C的軌跡E的方程；
（2）點P（1，t）為軌跡E上點，且點P為第一象限點，過點P作兩條直線與軌跡E交于A，B兩點，直線PA，PB斜率互為相反數，則直線AB斜率是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓C1：（x+1）2+y2=25的圓心C1（﹣1，0），半徑r1=5；圓C2：（x﹣1）2+y2=1的圓心C2（1，0），半徑r2=1．

設動圓C的圓心C（x，y），半徑r．

∵動圓C與圓C1，圓C2均內切，

∴|C1C|=5﹣r，|C2C|=r﹣1．

∴|C1C|+|C2C|=5﹣1=4＞|C1C2|=2，

因此動點C的軌跡是橢圓，且2a=4，2c=2，得a=2，c=1，

∴b2=a2﹣c2=3．

因此動圓圓心C的軌跡E方程是 ；

（2）解：如圖，

∵點P（1，t）為軌跡E上點，且點P為第一象限點，

∴ ，解得t= ，

∴P（1， ），

設PA所在直線方程為y﹣ ，則PB所在直線方程為 ，

聯立 ，得（3+4k2）x2﹣（8k2﹣12k）x+4k2﹣12k﹣3=0，

則 ，

∴ ， ，

取k為﹣k，可得 ，

∴ ．

∴直線AB斜率為定值 ．

【解析】（1）圓（x+1）2+y2=1的圓心C1（﹣1，0），半徑r1=1；圓（x﹣1）2+y2=25的圓心C2（1，0），半徑r2=5．設動圓C的圓心C（x，y），半徑r．由于動圓C與圓（x+1）2+y2=1及圓（x﹣1）2+y2=25都內切，可得|C1C|=r﹣1，|C2C|=5﹣r．于是|C1C|+|C2C|=5﹣1=4＞|C1C2|=2，利用橢圓的定義可知：動點C的軌跡是橢圓；（2）把P的坐標代入橢圓方程，求得t值，然后設出過PA的直線方程，PB的直線方程，聯立直線方程和橢圓方程，求得A，B的坐標，代入斜率公式可得直線AB斜率為定值 ．