Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_k（k≥2）}，其中a_i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素構成兩個相應的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中（a，b）是有序數對，集合S和T中的元素個數分別為m和n．若對于任意的a∈A，總有-a∉A，則稱集合A具有性質P．
（Ⅰ）檢驗集合{0，1，2，3}與{-1，2，3}是否具有性質P并對其中具有性質P的集合，寫出相應的集合S和T；
（Ⅱ）對任何具有性質P的集合A，證明：n≤

k(k-1)

2

；
（Ⅲ）判斷m和n的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）利用性質P的定義判斷出具有性質P的集合，利用集合S，T的定義寫出S，T．
（II）據具有性質P的集合滿足a∈A，總有-a∉A，得到0∉A得到（a_i，a_i）∉T；當（a_i，a_j）∈T時，（a_j，a_i）∉T，求出T中的元素個數．
（III）對應S中的元素據S，T的定義得到也是T中的元素，反之對于T中的元素也是s中的元素，得到兩個集合中的元素相同．

解答：（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性質P．
集合{-1，2，3}具有性質P，其相應的集合S和T是
S=（-1，3），（3，-1），T=（2，-1），（2，3）．
（II）證明：首先，由A中元素構成的有序數對（a_i，a_j）共有k²個．
因為0∉A，所以（a_i，a_i）∉T（i=1，2，，k）；
又因為當a∈A時，-a∉A時，-a∉A，
所以當（a_i，a_j）∈T時，（a_j，a_i）∉T（i，j=1，2，，k）．
從而，集合T中元素的個數最多為

1

2

(k2-k)=

k(k-1)

2

，
即n≤

k(k-1)

2

．
（III）解：m=n，證明如下：
（1）對于（a，b）∈S，根據定義，
a∈A，b∈A，且a+b∈A，從而（a+b，b）∈T．
如果（a，b）與（c，d）是S的不同元素，
那么a=c與b=d中至少有一個不成立，
從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個不成立．
故（a+b，b）與（c+d，d）也是T的不同元素．
可見，S中元素的個數不多于T中元素的個數，即m≤n，
（2）對于（a，b）∈T，根據定義，a∈A，b∈A，
且a-b∈A，從而（a-b，b）∈S．
如果（a，b）與（c，d）是T的不同元素，
那么a=c與b=d中至少有一個不成立，
從而a-b=c-d與b=d中也不至少有一個不成立，
故（a-b，b）與（c-d，d）也是S的不同元素．
可見，T中元素的個數不多于S中元素的個數，即n≤m，
由（1）（2）可知，m=n．

點評：本題考查利用題中的新定義解題；新定義題是近幾年常考的題型，要重視．