設(shè)函數(shù)
.
（1）設(shè)
，
，
，證明：
在區(qū)間
內(nèi)存在唯一的零點；
（2）設(shè)
，若對任意
、
，有
，求
的取值范圍.
（1）詳見解析；（2）
.
解析試題分析：（1）利用零點存在定理說明在區(qū)間內(nèi)存在零點，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來說明零點的唯一性；（2）先確定函數(shù)的解析式，將問題等價轉(zhuǎn)化為“
在
上的最大值與最小值之差
”，對二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系來進(jìn)行分類討論，從而求解出實數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）當(dāng)，，時，
，
，
在區(qū)間內(nèi)存在零點，
又當(dāng)
時，
，在區(qū)間是單調(diào)遞增的，在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；
（2）當(dāng)時，
，
對任意、都有等價于在上的最大值與最小值之差，
據(jù)此分類討論如下：
（i）當(dāng)
時，即
時，
，與題設(shè)矛盾！
（ii）當(dāng)
，即
時，
恒成立；
（iii）當(dāng)
，即
時，
.
綜上所述，.
考點：1.零點存在定理；2.分類討論
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
學(xué)校操場邊有一條小溝,溝沿是兩條長150米的平行線段,溝寬
為2米,，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線的頂點為
，對稱軸與地面垂直，溝深2米，溝中水深1米．
（1）求水面寬；
（2）如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體，已知柱體的體積為底面積乘以高，求溝中的水有多少立方米？
（3）現(xiàn)在學(xué)校要把這條水溝改挖(不準(zhǔn)填土)成截面為等腰梯形的溝，使溝的底面與地面平行，溝深不變，兩腰分別與拋物線相切（如圖2），問改挖后的溝底寬為多少米時，所挖的土最少？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知定義在R上的函數(shù)
滿足
，當(dāng)
時，
，且
.
（1）求
的值；
（2）當(dāng)時，關(guān)于
的方程
有解，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
甲廠以x千克/小時的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每小時可獲得利潤是100(5x＋1－
)元．
(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；
(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1km，某炮位于坐標(biāo)原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－
(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo)．
(1)求炮的最大射程；
(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2km，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
要制作一個如圖的框架(單位：m)，要求所圍成的總面積為19.5(m2)，其中ABCD是一個矩形，EFCD是一個等腰梯形，梯形高h(yuǎn)＝
AB，tan∠FED＝
，設(shè)AB＝xm，BC＝y(tǒng)m.
(1)求y關(guān)于x的表達(dá)式；
(2)如何設(shè)計x、y的長度，才能使所用材料最少？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
有一種新型的洗衣液，去污速度特別快．已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時間x(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝k·f(x)，其中f(x)＝
若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時，它才能起到有效去污的作用．
(1)若只投放一次k個單位的洗衣液，兩分鐘時水中洗衣液的濃度為3(克/升)，求k的值；
(2)若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去污時間可達(dá)幾分鐘？
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為偶函數(shù)．
的值；
有且只有一個根，求實數(shù)
的取值范圍．
命題
且命題
是
的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍