Question

給出下列四個結(jié)論：
①已知△ABC中，三邊a，b，c滿足（a+b+c）（a+b-c）=3ab，則∠C等于120°．
②若等差數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n，則三點(diǎn)(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共線．
③等差數(shù)列a_n中，若S₁₀=30，S₂₀=100，則S₃₀=210．
④設(shè)f(x)=

1

2x+ 2

，則f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）的值為

9 2

2

．
其中，結(jié)論正確的是

 

．（將所有正確結(jié)論的序號都寫上）

Answer 1

分析：①利用平方差公式及完全平方公式化簡已知的等式后得到一個關(guān)系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把求得的關(guān)系式代入即可求出cosC的值，然后根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
②利用第1和2點(diǎn)的坐標(biāo)表示出確定直線的斜率，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡得到直線的斜率；然后再利用第3和2點(diǎn)的坐標(biāo)表示出確定直線的斜率，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡得到直線的斜率，判斷求得的斜率相等與否，即可得到三點(diǎn)共線與否；
③根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差數(shù)列，列出2（S₂₀-S₁₀）=S₁₀+（S₃₀-S₂₀），將S₁₀和S₂₀的值代入即可求出S₃₀的值；
④先求出f（x）+f（1-x）的值，然后把所求的式子自變量相加為1的兩項(xiàng)結(jié)合得到之和為f（x）+f（1-x）的值的9倍，即可求出所求式子的值．

解答：解：①由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，得到（a+b）²-c²=3ab，化簡得：a²+b²-c²=ab，
則cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，根據(jù)C∈（0，180°），得到∠C=60°，所以此選項(xiàng)錯誤；
②因?yàn)?span id="2oqgusa" class="MathJye">

S10

10

=

10a1+ 10×9 2 d

10

=a₁+

9

2

d，同理

S100

100

=a₁+

99

2

d，

S110

110

=a₁+

109

2

d，
則

S100 100 - S10 10

100-10

=

(a1+ 99 2 d)-(a1+ 9 2 d)

90

=

d

2

=

S110 110 - S100 100

110-100

=

(a1+ 109 2 d)-(a1+ 99 2 d)

10

=

d

2

，
所以三點(diǎn)(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共線．此選項(xiàng)正確；
③根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差數(shù)列，
得到：2（S₂₀-S₁₀）=S₁₀+（S₃₀-S₂₀），將S₁₀=30，S₂₀=100，
代入得：2（100-30）=30+（S₃₀-100），解得：S₃₀=210．此選項(xiàng)正確；
④因?yàn)閒（x）+f（1-x）=

1

2x+ 2

+

1

21-x+ 2

=

1

2x+ 2

+

2x

2 + 2 •2x

=

2

2 (2x+ 2 )

+

2x

2+ 2 •2x

=

2 +2x

1 + 2 •2x

=

2 +2x

2 ( 2 +2x)

=

2

2

，
則f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）=

2

2

×9=

9 2

2

．此選項(xiàng)正確．
所以，正確的結(jié)論序號有：②③④．
故答案為：②③④

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)及余弦定理化簡求值，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡求值，利用歸納總結(jié)找規(guī)律的方法求函數(shù)的值，是一道綜合題．