Question

一直線與直二面角的兩個面所成的角分別為α、β，則（　　）

• A、α+β=

  π

  2

• B、0＜α+β＜

  π

  2

• C、

  π

  2

  ≤α+β＜π
• D、0≤α+β≤

  π

  2

Answer 1

分析：設線段AB夾在直二面角α-l-β內，A∈α，B∈β，如果AB與平面α、β所成的角分別為α和β，過A在α內做AC垂直于l于C點，過B在β內做BD垂直于l于D點． 在β內做BE平行l，在β內做CE平行BD，交點為E，連接AE，AD，BC，根據AD＞AC判斷∠ABC＜∠ABD，由于∠ABD+∠DAB=90°進而知α+β＜90°，當AB與l垂直時α+β=90° 當AB與l平行時α+β=0，最后綜合答案可得．

解答：解：設線段AB夾在直二面角α-l-β內，A∈α，B∈β，
如果AB與平面α、β所成的角分別為α和β，
過A在α內做AC垂直于l于C點，過B在β內做BD垂直于l于D點．
在β內做BE平行l，在β內做CE平行BD，交點為E，連接AE，AD，BC
則∠DAB=α，∠ABC=β，sin∠ABC=

AC

AB

，sin∠DAB=

AD

AB

因為AD＞AC，所以∠ABC＜∠ABD，
∠ABD+∠DAB=90°，所以α+β＜90°
當AB與l垂直時α+β=90°
當AB與l平行時α+β=0
∴0≤α+β≤90°
故選D

點評：本題主要考查了空間中直線與平面的位置關系．解題的關鍵是判斷出當直線與兩面角的棱平行或垂直時的情況．