Question

若函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函數，且
（1）求函數f(x)的解析式；
（2）求函數f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；
（3）設函數g(x)＝，若不等式g(x)·g(2k－x)≥(－k)²在(0，2k)上恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

f(x)＝－x³＋x，f(x)_max＝，(0，)]．

解：（1）函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函數，則b＝d＝0，
　　　　　　∴f ^/(x)＝3ax²＋c，則
　故f(x)＝－x³＋x；………………………………3分
　　　（2）∵f ^/(x)＝－3x²＋1＝－3(x＋)(x－)
　　∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是
增函數，在[－，]上是減函數，
由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　
如圖所示，
　　　　　　當－1＜m＜0時，
f(x)_max＝f(－1)＝0；
當0≤m＜時，f(x)_max＝f(m)＝－m³＋m，
當m≥時，f(x)_max＝f()＝．
　　　　　　故f(x)_max＝．………………8分
　　　　（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，則x、y∈R^＋，且2k＝x＋y≥2，
　　　　　　　又令t＝xy，則0＜t≤k²，
　　　　　　　故函數F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－
　＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k²]
　　　　　　　當1－4k²≤0時，F(x)無最小值，不合
　　　　　　　當1－4k²＞0時，F(x)在(0，]上遞減，在[，＋∞)上遞增，
　　　　　　　且F(k²)＝(－k)²，∴要F(k²)≥(－k)²恒成立，
　　　　　　必須，
　　　　　　故實數k的取值范圍是(0，)]．………………12分