Question

已知函數f(x)=log₂+log₂(x-1)+log₂(p-x).
（1）求f(x)的定義域；
（2）求f(x)的值域.

Answer 1

（1）定義域是(1,p)（2）當p＞3時，f(x)的值域是（-∞,2log₂(p+1)-2］;
當1＜p≤3時，函數f(x)的值域是(-∞,1+log₂(p-1)).

（1）f(x)有意義時，有
由①、②得x＞1,由③得x＜p,因為函數的定義域為非空數集，故p＞1,f(x)的定義域是(1,p).
（2）f(x)=log₂［(x+1)(p-x)］
=log₂［-（x-）²+］ (1＜x＜p),
①當1＜＜p，即p＞3時，
0＜-(x-,
∴log₂≤2log₂(p+1)-2.
②當≤1，即1＜p≤3時，
∵0＜-(x-
∴log₂＜1+log₂(p-1).
綜合①②可知：
當p＞3時，f(x)的值域是（-∞,2log₂(p+1)-2］;
當1＜p≤3時，函數f(x)的值域是(-∞,1+log₂(p-1)).