Question

（2012•浙江模擬）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

x2

4a

+

y2

a2+1

=1的離心率的最大值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，建立關(guān)于a的不等式并解之得：2-

3

＜a＜2+

3

．由橢圓離心率公式，得e²=1-（

a

4

+

1

4a

），利用基本不等式得a=1時(shí)，e²有最大值

1

2

，即得該橢圓的離心率e的最大值．

解答：解：∵橢圓

x2

4a

+

y2

a2+1

=1的焦點(diǎn)在x軸上
∴4a＞a²+1，解之得2-

3

＜a＜2+

3

橢圓的離心率e滿足：e²=

4a-(a2+1)

4a

=1-（

a

4

+

1

4a

）
∵a∈（2-

3

，2+

3

）是正數(shù)
∴

a

4

+

1

4a

≥2

a 4 × 1 4a

=

1

2

∴e²≤1-

1

2

=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

a

4

=

1

4a

=

1

4

，即a=1時(shí)，e²有最大值

1

2

由此可得橢圓的離心率e的最大值為

1 2

=

2

2

故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出的橢圓方程含有字母參數(shù)，求橢圓的離心率最大值，著重考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．